Algèbre linéaire Exemples

8 i (7 - 5 i)

$8 i (7 - 5 i)$

Étape 1

Appliquez la propriété distributive.

8 i \cdot 7 + 8 i (- 5 i)

$8 i \cdot 7 + 8 i (- 5 i)$

Étape 2

Multipliez

7

$7$ par

8

$8$ .

56 i + 8 i (- 5 i)

$56 i + 8 i (- 5 i)$

Étape 3

Multipliez

8 i (- 5 i)

$8 i (- 5 i)$ .

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Étape 3.1

Multipliez

- 5

$- 5$ par

8

$8$ .

56 i - 40 i i

$56 i - 40 i i$

Étape 3.2

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

56 i - 40 (i^{1} i)

$56 i - 40 (i^{1} i)$

Étape 3.3

Élevez

i

$i$ à la puissance

1

$1$ .

56 i - 40 (i^{1} i^{1})

$56 i - 40 (i^{1} i^{1})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

56 i - 40 i^{1 + 1}

$56 i - 40 i^{1 + 1}$

Étape 3.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

56 i - 40 i^{2}

$56 i - 40 i^{2}$

56 i - 40 i^{2}

$56 i - 40 i^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez

i^{2}

$i^{2}$ comme

- 1

$- 1$ .

56 i - 40 \cdot - 1

$56 i - 40 \cdot - 1$

Étape 4.2

Multipliez

- 40

$- 40$ par

- 1

$- 1$ .

56 i + 40

$56 i + 40$

56 i + 40

$56 i + 40$

Étape 5

Remettez dans l’ordre

56 i

$56 i$ et

40

$40$ .

40 + 56 i

$40 + 56 i$

Étape 6

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où

| z |

$| z |$ est le module et

θ

$θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 7

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où

z = a + b i

$z = a + b i$

Étape 8

Remplacez les valeurs réelles de

a = 40

$a = 40$ et

b = 56

$b = 56$ .

| z | = \sqrt{56^{2} + 40^{2}}

$| z | = \sqrt{56^{2} + 40^{2}}$

Étape 9

Déterminez

| z |

$| z |$ .

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Étape 9.1

Élevez

56

$56$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{3136 + 40^{2}}

$| z | = \sqrt{3136 + 40^{2}}$

Étape 9.2

Élevez

40

$40$ à la puissance

2

$2$ .

| z | = \sqrt{3136 + 1600}

$| z | = \sqrt{3136 + 1600}$

Étape 9.3

Additionnez

3136

$3136$ et

1600

$1600$ .

| z | = \sqrt{4736}

$| z | = \sqrt{4736}$

Étape 9.4

Réécrivez

4736

$4736$ comme

8^{2} \cdot 74

$8^{2} \cdot 74$ .

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Étape 9.4.1

Factorisez

64

$64$ à partir de

4736

$4736$ .

| z | = \sqrt{64 (74)}

$| z | = \sqrt{64 (74)}$

Étape 9.4.2

Réécrivez

64

$64$ comme

8^{2}

$8^{2}$ .

| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}

$| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}$

| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}

$| z | = \sqrt{8^{2} \cdot 74}$

Étape 9.5

Extrayez les termes de sous le radical.

| z | = 8 \sqrt{74}

$| z | = 8 \sqrt{74}$

| z | = 8 \sqrt{74}

$| z | = 8 \sqrt{74}$

Étape 10

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

θ = \arctan (\frac{56}{40})

$θ = \arctan (\frac{56}{40})$

Étape 11

Comme la tangente inverse de

\frac{56}{40}

$\frac{56}{40}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est

0.95054684

$0.95054684$ .

θ = 0.95054684

$θ = 0.95054684$

Étape 12

Remplacez les valeurs de

θ = 0.95054684

$θ = 0.95054684$ et

| z | = 8 \sqrt{74}

$| z | = 8 \sqrt{74}$ .

8 \sqrt{74} (\cos (0.95054684) + i \sin (0.95054684))

$8 \sqrt{74} (\cos (0.95054684) + i \sin (0.95054684))$